O que é um padrão de colar?
Imaginemos que
as pérolas ocupam
os vértices de um hexágono
regular. Consideramos de novo o
conjunto
das colorações
dos vértices, usando duas cores - branco e preto.
Já sabemos que existem as 64 colorações seguintes: |
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Portanto:
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Calculemos, por
exemplo,
número de colorações que ficam
invariantes sob a
acção da simetria
.
Da tabela anterior , o que significa que deixa fixos os vértices e e permuta os vértices com e com - é o produto de dois ciclos de comprimento e de dois ciclos de comprimento . Se é uma coloração que fica invariante sob a acção da simetria , então a côr dos vértices e pode ser qualquer. No entanto os vértices e têm que ter a mesma côr bem como os vértices e . Logo o número de colorações invariantes sob a acção de é . |
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Em geral, se se
decompõe em ciclos
disjuntos, o número de
colorações invariantes sob a acção de é
.
Da tabela anterior vemos que existe:
Portanto: e, pelo lema de Burnside o número de padrões pretendido é:
Existem
pois
padrões de colares distintos com 6 pérolas
brancas e pretas representados na figura seguinte (um colar
representativo de cada padrão):
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