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Exemplo 1
Índice de ciclos do grupo das rotações do hexágono regular:
Portanto o índice de ciclos de é o polinómio: |
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Exemplo 2
Índice de ciclos do grupo diedral :
Portanto o índice de ciclos de é o polinómio:
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Generalizando:
Cálculo
do
índice de ciclos do grupo diedral
O grupo diedral
, das simetrias de um polígono regular de
vértices, tem ordem
: É constituído por rotações:
Para cada , a rotação quando actua nos vértices do polígono regular de vértices, envia cada vértice no vértice (módulo ).
Assim por exemplo, quando e :
Fixemos . Se é o menor inteiro tal que (mod ), então decompõe-se em ciclos de comprimento . Por outro lado, se esse inteiro não é mais do que e portanto decompõe-se em ciclos de comprimento . Agrupemos as rotações que têm o mesmo tipo de decomposição num produto de ciclos. Para isso recorremos à chamada função de Euler:
Para cada divisor de existem números , entre e , tais que . Portanto, por cada divisor de há rotações que contribuem com o monómio para o índice de ciclos. A contribuição das rotações é pois e, em particular, o índice de ciclos do grupo cíclico é:
Concluindo: O índice de ciclos do grupo diedral é:
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Em particular, o número de
colares
com pérolas e cores é
igual a:
e:
Se cores e é um número primo ímpar, o número padrões de colares é:
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Mais exemplos de índices de ciclos:
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