Lema de Burnside

 

Wiliam Burnside (1852-1927)



  • Regressemos ao problema de calcular o número de padrões distintos de um hexágono regular, cujos vértices estão coloridos apenas com duas cores - B (branco) e P (preto).

Como veremos, é muito importante calcular o conjunto dos pontos fixos, $ \hbox{Fix}(g)\subseteq {\mathscr{C}}$ , de cada $ g\in G=C_6$ , e, para isso, convem ter a representação dos elementos de $ C_6$ , como permutações dos vértices do hexágono, e ainda as correspondentes decomposições num produto de ciclos disjuntos:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccl}

Por exemplo, no cálculo de $ \hbox{Fix}(\rho^2)$ usamos o facto de que $ \rho^2=(135)(246)$ e, portanto, qualquer coloração $ c$ que fique fixa por $ \rho^2$ , tem que ter os vértices $ 1,3$ e $ 5$ da mesma côr. Analogamente os vértices $ 2,4$ e $ 6$ têm que ter também a mesma côr.

Portanto $ \vert\hbox{Fix}(\rho^2)\vert=2^2=4$ , onde o 2 da base se refere ao número de cores (apenas duas neste caso - branco e preto) e o expoente ao número de ciclos de $ \rho^2$ - dois. 

De facto:







O mesmo acontece para qualquer $ g$ - os vértices que ocorrem em cada ciclo de $ g$ têm que ter a mesma côr. Portanto $ \vert\hbox{Fix}(g)\vert$ fica determinado pelo número $ c(g)$ de ciclos de $ g$ (e pelo número de cores):

$\displaystyle \vert\hbox{Fix}(g)\vert=2^{c(g)}$





Lema de Burnside


Seja $ G$ um grupo que actua num conjunto $ {\mathscr{C}}$ (ambos finitos).


Então o número de padrões (órbitas) é dado por:

$\displaystyle \vert{\mathscr{C}}/G\vert=\frac{1}{\vert G\vert}\sum_{g\in G} \vert\hbox{Fix}(g)\vert\,$ (8)






Demonstração ... Quantas vezes é que uma dada ``coloração, $ c\in {\mathscr{C}}$ entra na soma $ \sum_{g\in G} \vert\hbox{Fix}(g)\vert$ ?

É claro que $ c$ entra cada vez que existe um $ g$ que deixa $ c$ fixo. Portanto, $ c$ entra na soma tantas vezes quantas o cardinal $ \vert\hbox{Isotr}(c)\vert$ do subgrupo de isotropia de $ c$ .

Todas as colorações que estão na mesma órbita de $ c$ entram na soma o mesmo número de vezes uma vez que todos os seus estabilizadores têm o mesmo

 cardinal. Portanto, a contribuição da órbita de $ c$ é $ \vert\hbox{Isotr}(c)\vert \cdot \vert\hbox{Orb}(c)\vert$ que, pela fórmula (4), é igual a:

$\displaystyle \vert\hbox{Isotr}(c)\vert\cdot \vert\hbox{Orb}(c)\vert=\vert G\vert$

Vemos pois que cada órbita dá a mesma contribuição $ \vert G\vert$ , para a soma $ \sum_{g\in G} \vert\hbox{Fix}(g)\vert$ . A soma total é portanto $ \vert G\vert\times$ número de órbitas $ \vert{\mathscr{C}}/G)\vert$ , isto é:

$\displaystyle \vert G\vert\cdot \vert{\mathscr{C}}/G\vert=
que é exactamente a igualdade que se pretendia provar.

$ \blacksquare.$





Assim, pelo lema de Burnside, o número de padrões distintos de um hexágono regular, cujos vértices estão coloridos apenas com duas cores - B (branco) e P (preto) é igual a:


$\displaystyle \vert{\mathscr{C}}/C_6\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert C_6\vert}\sum_{g\in C_6} \vert\hbox{Fix}(g)\vert$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{6}\left(2^6+ 2^1+ 2^2+ 2^3+ 2^2+2^1\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 14$ (9)

como aliás já sabíamos!




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