Os três problemas clássicos da Geometria grega

Os três problemas clássicos da Geometria grega eram sobre como realizar uma construção geométrica usando somente régua e compasso. Tratavam-se dos seguintes problemas:

Duplicação do cubo:

Dado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior.

Trissecção do ângulo:

Dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da amplitude.

Quadratura do círculo:

Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área.

Vamos ver os dois primeiros problemas com algum detalhe; o terceiro já tem a sua própria página. Mas antes disso, vejamos o que se quer dizer exactamente com «construir usando apenas régua e compasso».

Construções com régua e compasso

As construções com régua e compasso são frequentemente designadas por «construções euclidianas», pelo que poderá ser uma surpresa para algumas pessoas constatar que os termos «régua» e «compasso» não surgem nos Elementos de Euclides. De facto, Euclides só usa as expressões «construir um segmento», «prolongar um segmento» e «construir uma circunferência», sem mencionar os instrumentos a utilizar para se obterem efectivamente tais construções. Mas é fácil ver que as regras estipuladas por Euclides equivalem ao uso da régua e do compasso de acordo com as seguintes regras:

régua:

só pode ser usada para, dados dois pontos A e B, construir um segmento, tão longo quanto se queira, que contenha aqueles dois pontos;

compasso:

só pode ser usado para, dados dois pontos A e B, construir a circunferência de centro A e que passa por B.

Vejamos o que não se pode fazer com régua e compasso. Se a régua tiver pontos marcados (ou seja, se for uma régua graduada), estes não podem usados nas construções. Esta restrição não é trivial, como será visto mais à frente. Quanto ao compasso, este não pode ser usado para transportar distâncias (é aquilo que se designa por uma compasso «de pontas caídas», ou seja, é como se se fechasse assim que é levantado do papel). Ao contrário da restrição relativa à régua, esta não é relevante, pois a segunda proposição dos Elementos explica como transportar distâncias seguindo as regras euclidianas.

Duplicação do cubo

Este problema poderá, à primeira vista, parecer ter uma natureza distinta da dos restantes dois, pois trata-se de um problema de Geometria no espaço, enquanto que os outros são problemas de Geometria plana. De facto, o que se quer aqui é, dado um segmento de recta, que deve ser encarado como uma aresta de um cubo, construir com régua e compasso um segmento tal que um cubo que tenha esse segmento como aresta tenha o dobro do volume do cubo inicial. Não é difícil ver que o comprimento deste último segmento deverá ser igual ao do segmento inicial multiplicado por ³√2.

Trissecção do ângulo

Na Grécia antiga sabia-se como bissectar qualquer ângulo com régua e compasso. O método era o seguinte:

Desloque o ponto D e veja como os ângulos ∠AOC e ∠COB têm a mesma amplitude, a qual é, portanto, metade da amplitude do ângulo ∠AOB.

Em termos de construção com régua e compasso, isto corresponde ao seguinte:

1. construir uma circunferência centrada no vértice do ângulo;
2. construir duas circunferências do mesmo raio centradas nos pontos de intersecção da circunferência anterior com os lados do ângulo;
3. as duas circunferências intersectam-se em dois pontos: no vértice do ângulo e num ponto C.

A semi-recta com origem no vértice do ângulo e que passa por C divide então o ângulo em dois ângulos com a mesma amplitude.

O problema que surge naturalmente após o da bissecção é o da trissecção. Os gregos sabiam trissectar alguns ângulos (90°, por exemplo), mas não conheciam um método que funcionasse para todos. Hoje em dia sabe-se que, por exemplo, um ângulo de 60° não pode ser trissectado usando apenas régua e compasso. Por outro lado, Arquimedes descobriu um processo de trissectar qualquer ângulo usando apenas régua graduada e compasso e, de facto, basta para isso que a régua tenha dois pontos marcados. Eis a construção de Arquimedes:

Desloque o ponto B e, em seguida, desloque o ponto C até que o ponto D esteja situado na circunferência. Então o ângulo ∠ACB terá um terço da amplitude do ângulo ∠AOB.

Em termos de construção com régua graduada (mais precisamente, com dois pontos marcados) e compasso, isto corresponde ao seguinte:

1. construir um ângulo ∠AOB com a mesma amplitude que o ângulo dado e tal que a distância de O a B seja igual à distância entre dois dos pontos marcados na régua;
2. construir a circunferência de centro O e que passa por B;
3. colocar um dos pontos marcados na régua num ponto C da recta definida por O e por A, colocar o outro num ponto D da circunferência e ter a recta a passar por B.

Então o ângulo ∠ACB tem um terço da amplitude do ângulo ∠AOB.

Data da última actualização deste documento: 2004–07–18

Autor: José Carlos Santos