Sabe-se muito pouca da vida de Apolónio de Pérgamo, conhecido na antiguidade por «O grande Geómetra». Nasceu em Pérgamo (actualmente na Turquia), por volta de 262 aC, e faleceu em 190 aC, aproximadamente. A sua obra mais conhecida são as Cónicas, em oito volumes, dos quais os primeiros sete chegaram aos nossos dias. A maior parte das obras de Apolónio perderam-se e tudo o que resta delas são as descrições feitas por Pappus de Alexandria na primeira metade do século IV e por alguns matemáticos árabes séculos mais tarde.
O problema de Apolónio e a respectiva solução vêm numa das obras perdidas de Apolónio, Sobre tangências (em dois volumes), que é uma daquelas da qual só temos a descrição feita por Pappus. Consiste no seguinte problema:
Dados três objectos do plano, cada um dos quais é um ponto, uma recta ou uma circunferência, encontrar todas as rectas e todas as circunferências tangentes simultaneamente aos três.
Observações:
Desconhece-se qual o método usado por Apolónio para resolver o seu problema. O método de solução que vai ser mencionado aqui deve-se essencialmente a François Viète (1540–1603) e a Julius Peterson (1839–1910) e só emprega régua e compasso.
Convém, para resolver o problema, acrescentar ao plano um ponto no infinito, que será representado por ∞. Para se visualizar o que significa acrescentar este ponto ao plano, considere-se a projecção estereográfica, representada pela figura abaixo. Nesta figura, pode ser vista uma superfície esférica E pousada sobre um plano. A cada ponto P de E faz-se corresponder um ponto P′ do plano do seguinte modo: considera-se a a recta definida por P e pelo «pólo Norte» N de E (isto é, o ponto de E mais afastado do ponto de contacto com o plano). Esta recta intersecta o plano num único ponto P′. A função de E\{N} no plano que a cada P associa P′ é a projecção estereográfica e é uma bijecção. O ponto ∞ é aquele que corresponde a N, o que é compatível com o facto de que quanto mais um ponto de E está próximo de N mais a sua projecção estereográfica está longe do ponto de contacto entre E e o plano.
Imagem retirada do Wikimedia Commons.
Observe-se que qualquer recta do plano passa pelo ponto ∞, enquanto que nenhuma circunferência faz isso. Vai-se convencionar que duas rectas são tangentes em ∞ se e só se forem paralelas. Esta convenção é natural do ponto de vista geométrico.
Seja c uma circunferência de centro C e raio r. Dado um ponto P do plano, diz-se que P é exterior a c se a distância de P a C for maior que r e diz-se que P é interior a c se a distância de P a C for menor que r. Com esta terminologia, cada ponto P satisfaz uma e uma só das seguintes condições:
Quando duas circunferências distintas são tangentes, então têm um e um só ponto em comum. Seja T esse ponto. Diz-se que as circunferências são tangentes exteriormente se cada ponto de cada uma delas, excepto T, for exterior à outra; caso contrário, diz-se que são tangentes interiormente. Por exemplo, na figura abaixo a circunferência c1 é tangente interiormente à circunferência c2 e é tangente exteriormente à circunferência c3.
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