Trissectriz de Maclaurin

A linha castanha da figura abaixo designa-se por trissectriz de Maclaurin. Foi estudada pela primeira vez pelo matemático escocês Colin Maclaurin, em 1742.

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A definição geométrica da trissectriz de Maclaurin é a seguinte:

  1. parte-se de uma circunferência de centro O e diâmetro AB;
  2. seja C o ponto médio do segmento AO;
  3. considera-se a recta perpendicular a AB que passa por C;
  4. dado um ponto P qualquer da circunferência, seja Q o ponto da recta anterior que pertence ao segmento AP;
  5. seja P' o ponto do segmento AP tal que a distância de A a P' seja igual à distância de Q a P.

Então a trissectriz é o lugar geométrico dos pontos P' obtidos quando P percorre a circunferência.

Se se carregar no botão «Animação» ou se se mexer no ponto P, ver-se-á que o ângulo ∠BAP' mede sempre um terço do ângulo ∠BOP'; daí o nome «trissectriz».

Mas porque é que o ângulo ∠BAP' mede sempre um terço do ângulo ∠BOP'? A figura abaixo ajuda a compreender o motivo. Como a amplitude do ângulo ∠BOP' é igual à soma das amplitudes dos ângulos ∠BOP e ∠POP' e como a amplitude do ângulo ∠BOP é metade da amplitude do ângulo ∠BAP, basta provar que os ângulos ∠BAP e ∠POP' têm a mesma amplitude. Veja-se agora que o triângulo AOP é isósceles; os segmentos AO e OP têm o mesmo comprimento. Logo, os ângulos ∠OAP e ∠OPA têm a mesma amplitude. Resulta daqui que os triângulos OAQ e OPP' são congruentes e que os ângulos ∠POP' e ∠AOQ têm a mesma amplitude. Mas, uma vez que os segmentos AQ e OQ têm o mesmo comprimento, os ângulos ∠AOQ e ∠OAQ têm a mesma amplitude.

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Também é possível demonstrar analiticamente a propriedade que foi demonstrada acima por métodos geométricos. Para tal, é preciso começar por se obter a expressão da trissectriz de Maclaurin em coordenadas polares. Vai-se tomar o ponto A como origem do sistema de coordenadas e o ponto O como ponto de abcissa 1 e ordenada 0. Naturalmente, os eixos são escolhidos de modo a terem a mesma escala. Qual é a equação da circunferência em coordenadas polares? Como se trata da circunferência com origem em (1,0) e de raio 1, se ρc(θ) for a sua equação em coordenadas polares, então tem-se

(∀θ∈R) : (ρc(θ)·cos(θ) − 1)2 + (ρc(θ)·sen(θ))2 = 1,

pelo que ρc(θ) = 2·cos(θ). Analogamente, a equação da recta vertical que passa por C é ρr(θ) = 1/(2·cos(θ)). Mas decorre então da definição da trissectriz de Maclaurin que a sua equação em coordenadas polares é dada por

ρ(θ) = ρc(θ) − ρr(θ) = 2·cos(θ) − 1/(2·cos(θ)).

Por outro lado, a tangente do ângulo ∠BAP' é igual a tan(θ), pelo que o que se quer mostrar é que a tangente do ângulo ∠BOP' é tan(3θ). O que se sabe é que a tangente daquele ângulo é igual a

ρ(θ)·sen(θ)/(ρ(θ)·cos(θ) − 1) =((4·cos(θ)2 − 1)·sen(θ))/((4·cos(θ)2 − 3)·cos(θ))
=tan(θ)·(4 − cos(θ)−2)/(4 − 3·cos(θ)−2)
=tan(θ)·(4 − (1 + tan(θ)2))/(4 − 3(1 + tan(θ)2))
=tan(θ)·(3 − tan(θ)2)/(1 − 3·tan(θ)2).

Por outro lado, recorrendo duas vezes à relação

(∀α,β∈R) : tan(α + β) = (tan(α) + tan(β))/(1 − tan(α)·tan(β))

deduz-se que

(∀θ∈R) : tan(3θ) = tan(θ)·(3 − tan(θ)2)/(1 − 3·tan(θ)2),

o que conclui a demonstração.


Data da última actualização deste documento: 2007–07–23

Autor: José Carlos Santos

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