Um cubo tem oito vértices e há uma e uma só maneira de obter o conjunto dos vértices como reunião de dois conjuntos disjuntos V1 e V2 de modo a que não haja em Vi (i ∈ {1,2}) dois vértices distintos que sejam extremidades de uma mesma aresta. Os quatro pontos de Vi (i ∈ {1,2}) são vértices de um tetraedro regular. Podem-se ver um cubo e os dois tetraedros correspondentes na figura abaixo.
Seja r uma rotação do cubo, i. e. uma rotação do espaço que envie o cubo em si próprio. Então, caso v e w sejam vértices distintos do cubo que não sejam extremidades de uma mesma aresta, r(v) e r(w) estarão nas mesmas circunstâncias; logo, ou r preserva cada um dos tetraedros ou permuta-os. Seja T* o subgrupo do grupo das rotações do cubo formado pelas rotações que preservam cada um dos tetraedros. Obviamente, T* é um subgrupo do grupo T de todas as rotações do tetraedro cujo conjunto dos vértices é V1. De facto, T* = T. Para ver porquê, convém começar por observar que os 12 elementos de T são:
Mas uma rotação de ordem 3 do tetraedro em questão em torno do eixo definido por um vértice e pelo centro da face oposta é também a rotação de ordem 3 do cubo em torno do eixo que une o mesmo vértice ao vértice oposto do cubo. Por outro lado, uma rotação de ordem 2 do tetraedro em torno do eixo que une o ponto médio de uma aresta ao ponto médio da única outra aresta que não a intersecta é também a rotação de ordem 2 do cubo em torno do eixo definido pelos centros da faces do cubo que contêm as arestas em questão. Como, obviamente, a rotação trivial também está em T*, está provado que T* = T.
A demonstração anterior pode ser encurtada observando que, como T* tem os 8 elementos de ordem 3 do grupo T e como, pelo teorema de Lagrange, a ordem de T* divide a de T, está provado que T* = T, pois 12 é o único número natural entre 8 e 12 que divide 12.
Data da última actualização deste documento: 2006–06–27
Autor: José Carlos Santos