O conjunto de Cantor

Para cada α ∈ ]0,1], defino o conjunto C_α do seguinte modo:

1. Seja I₀ o intervalo [0,1].
2. Subtraio a I₀ o intervalo aberto central de comprimento ^α⁄₃; seja I₁ o conjunto restante. Por outras palavras, I₁ = I₀\]¹⁄₂ − ^α⁄₆,¹⁄₂ + ^α⁄₆[ = [0,¹⁄₂ − ^α⁄₆]∪ [¹⁄₂ + ^α⁄₆,1].
3. O conjunto I₁ é formado pela reunião disjunta de dois intervalos fechados de [0,1]. A cada um destes intervalos subtraio o intervalo aberto central de comprimento ^α⁄₉. Seja I₂ o conjunto restante.
4. Construo assim sucessivamente uma família decrescente (I_n)_{n ∈ N} de sub-conjuntos de [0,1]. Cada I_n é uma reunião disjunta de 2ⁿ intervalos fechados de [0,1] e I_{n + 1} obtém-se retirando a cada um destes intervalos o intervalo aberto central de comprimento ^α⁄_3^n + 1.
5. Defino:
   

   Cα =	∩	In.
   	n ∈ Z+

Há uma passagem nesta definição cuja legitimidade exige uma demonstração. Para que o quarto ponto faça sentido é necessário demonstrar que o comprimento de cada um dos 2ⁿ intervalos fechados cuja reunião disjunta forma I_n é maior de que ^α⁄_{3^{n + 1}}; caso contrário, não faz sentido falar no «intervalo aberto central de comprimento ^α⁄_{3^{n + 1}}». Para justificar a passagem, repare-se que o conjunto I₁ é obtido retirando-se de [0,1] um segmento de comprimento ^α⁄₃; logo, l (I₁) = 1 − ^α⁄₃. Em seguida, obtém-se I₂ retirando de I₁ dois segmentos de comprimento ^α⁄₉, pelo que l (I₂) = 1 − ^α⁄₃ − ^2α⁄₉. Vê-se então que se tem:

e então o que se quer mostrar é que:

Verifica-se facilmente que esta expressão equivale a:

e esta última proposição é obviamente verdadeira.¹

Usualmente, a expressão «conjunto de Cantor» refere-se ao conjunto C₁. Por isso, para designar este conjunto em particular vai ser usada a letra C, sem qualquer índice.

Teorema: Para cada α ∈ ]0,1] tem-se:

1. O cardinal de C_α é igual ao cardinal de R.
2. l (C_α) = 1 − α.
3. C_α é compacto.
4. C_α é perfeito (i. e. não tem pontos isolados).
5. C_α é totalmente desconexo (i. e. os únicos sub-conjuntos conexos são os que são formados por um único ponto).

Além disso, o conjunto C é formado pelos números de [0,1] que podem ser escritos na base 3 usando unicamente os algarismos 0 e 2.

Demonstração: Cada I_n é reunião disjunta de 2ⁿ intervalos fechados; sejam I (n,0), I (n,1),…, I (n,2ⁿ − 1) esses conjuntos, numerados de modo que se k < l, então qualquer elemento de I (n,k) seja menor do que qualquer elemento de I (n,l ). Vê-se então que:

Visto que os intervalos I (n,0), I (n,1),…, I (n,2ⁿ − 1) são dois a dois disjuntos, o comprimento de cada um deles não excede 2⁻ⁿ. Além disso, os extremos de cada I (n,k) são elementos de C_α, pois I (n,k)\C_α é um aberto e como tal está contido no interior de I (n,k), enquanto que os extremos de I (n,k) estão na fronteira. Repare-se que se x ∈ C_α, então x ∈ ∩_{n ∈ N} I (n,k (n)), sendo os k (n) tais que I (n,k (n)) ⊃ I (n + 1,k (n + 1)). De facto {x} = ∩_{n ∈ N} I (n,k (n)), visto que o comprimento dos intervalos converge para zero.

Seja 2^N o conjunto das funções de N em {0,1}. Vou construir uma bijecção B entre 2^N e C_α. Seja (a_n)_n ∈ 2^N. Defino então B ((a_n)_n) como sendo o único elemento do conjunto:

Para justificar que esta definição faz sentido, veja-se que (1) implica que a família de intervalos de que estamos a calcular a intersecção é decrescente. Como todos estes intervalos são fechados, o princípio do encaixe dos intervalos diz que a intersecção não é vazia. Finalmente, como o comprimento dos intervalos tende para 0, a intersecção reduz-se a um ponto. Vê-se pela definição de C_α que esse ponto está necessariamente em C_α.

Para ver que a função B é injectiva, tomo dois elementos distintos (a_n)_n e (b_n)_n de 2^N. Seja N o menor número natural tal que a_N ≠ b_N. Então B ((a_n)_n) ∈ I (N,∑_{1 ≤ k ≤ N} a_k2^{N − k}) e B ((b_n)_n) ∈ I (N,∑_{1 ≤ k ≤ N} b_k2^{N − k}). Estes dois conjuntos são disjuntos, de onde se tira que B ((a_n)_n) ≠ B ((b_n)_n). Quanto à sobrejectividade, se x ∈ C_α então {x} = ∩_{n ∈ N} I (n,k (n)). Visto que cada I (n,k (n)) contém I (n + 1,k (n + 1)), k (n + 1) = 2k (n) ou k (n + 1) = 2k (n) + 1. Vê-se então que x = B ((a_n)_n), sendo a_n tal que k (n) = 2k (n − 1) + a_n.² Visto que o cardinal de R é igual ao cardinal de 2^N, deduz-se que também é igual ao cardinal de C_α.

O conjunto C_α está contido em [0,1] e [0,1] \ C_α é a reunião disjunta de um intervalo de comprimento ^α⁄₃ com dois intervalos de comprimento ^α⁄₉ com quatro intervalos de comprimento ^α⁄₂₇, etc. Logo, tem-se:

pelo que l (C_α) = 1 − α.

O conjunto C_α foi definido como sendo a intersecção de uma família de compactos. Logo, C_α é compacto.

Afirmar que C_α é totalmente desconexo é o mesmo que afirmar que não contém nenhum intervalo ]a,b[. Para justificar isso, tomo um n ∈ N. Então tem-se:

Esta reunião é disjunta. Se escolher n tal que 2⁻ⁿ < b − a, então cada I (n,j) tem comprimento inferior a b − a; logo:

Seja x ∈ C_α. Vou mostrar que x não é um ponto isolado. Sei que:

Considero então as sucessões:

Os extremos de cada intervalo I (n,j) pertencem a C_α, pelo que as duas sucessões são sucessões de elementos de C_α. Vê-se facilmente que se tem:

1. (∀n ∈ Z₊) : m_n ≤ x ≤ M_n
2. (∀n ∈ Z₊) : 0 < M_n − m_n ≤ 2⁻ⁿ

pelo que ambas as sucessões (m_n)_n e (M_n)_n convergem para x e pelo menos uma delas não é constante a partir de uma certa ordem. Logo, x não é um ponto isolado.

Finalmente, no caso do conjunto C, verifica-se facilmente que I_n (n ≥ 1) é formado pelos números do intervalo [0,1] que se podem escrever na base 3 usando unicamente os algarismos 0 e 2 nas n primeiras casas decimais.³

Exercício: Mostre que se U é um aberto de R e α ∈ ]0,1], então l (U ∩C_α) < l (U).

Nota: Entre as propriedades mais interessantes do conjunto de Cantor destacam-se as seguintes:

1. Qualquer espaço métrico compacto, perfeito e totalmente desconexo é homeomorfo a C.
2. Se M é um espaço métrico compacto, então existe uma aplicação contínua sobrejectiva de C em M.

Para a demonstração destes resultados, veja-se o livro General Topology de S. Willard.

Notas

… verdadeira.¹

Também se deduz desta expressão que α não pode ser maior do que 1.

… ²

De facto, se se introduzir em 2^N a distância d ((a_n)_n,(b_n)_n) = ∑_n2⁻ⁿ|a_n − b_n| é um homeomorfismo. Isto mostra que os C_α são homeomorfos dois a dois.

… decimais.³

Repare-se que 1 ∈ C, pois na base 3 o número 1 pode-se escrever sob a forma 0,222222222222…