A Matemática ao serviço da Ciência

A utilização da Matemática em Geologia decorre, na generalidade das situações, do carácter pluridisciplinar da Geologia. Embora dotada de uma metodologia própria e de uma abordagem histórica dos fenómenos que estuda, a Geologia socorre-se da Física e da Química para a interpretação daqueles fenómenos. Nos primórdios da Geologia – quando o termo ainda nem sequer existia ou não passava de um neologismo – a aplicação da Matemática, por via daquelas ciências exactas (em particular da Física), deu lugar a resultados que os «geólogos», racional e sensatamente, não poderiam aceitar. Um caso paradigmático desta situação foi o da avaliação da idade da Terra. Os fundadores de Geologia tiveram de contornar as determinações bíblicas e, por outro lado, tiveram de contestar certos cálculos baseados em «sólidas» leis da Física. Esta dificuldade de validação da Matemática e da aplicação das ciências ditas exactas em Geologia foi-se esbatendo com o tempo. A Matemática é uma ferramenta crescentemente utilizada em Geologia. Este uso da Matemática em Geologia torna-se particularmente importante a partir de meados deste século, em parte, em resultado de crescente aplicação da Física e da Química à Geologia. As crescentes aplicações tecnológicas da Geologia (ou de uma forma mais geral, a crescente necessidade de quantificação) foram um outro factor determinante do uso da Matemática em Geologia. Mas, nesse uso, a Matemática é meramente um instrumento. É um instrumento de cálculo, mas, cada vez mais, um instrumento de aplicação tecnológica e de investigação, através da elaboração de modelos matemáticos e de simulação. Nestes últimos aspectos, foi particularmente importante a introdução e o incremento explosivo da Informática. Nessas modelações e nessas simulações surgem, já, desenvolvimentos, em que a Matemática deixa de ser, em Geologia, um mero instrumento de quantificação ou de linguagem formal, para se converter num agente de construção do conhecimento.

Modelos ecológicos
Tipos de modelos
Modelos de crescimento das populações
Modelo determinístico de competição
Modelo de Herbivorismo
Modelo da interacção predador-presa
Interacções herbívoro-planta
Diversidade específica e abundância relativa das espécies
Relações espécie / área
Relações espécie – abundância
Modelos de comunidades
Medidas de diversidade – índices de diversidade
Relação entre o número de espécies e de indivíduos
Índices baseados na teoria da informação
Índices comparativos – coeficientes de semelhança ou associação
Índices saprobióticos e bióticos

Nesta apresentação, após a referência a algumas bases teóricas de Matemática e Complexidade, serão descritos três protocolos criptográficos:

• Transmissão de informação num canal inseguro utilizando os métodos da criptografia de chave pública; em particular será descrito o protocolo RSA.
• Descrição da utilização do protocolo RSA para o «reconhecimento digital de assinaturas» («assinaturas digitais»).
• Introdução às demonstrações de conhecimento zero – A convence B de que conhece um certo facto (por exemplo, a solução de um problema, a demonstração de um teorema ou o número de um cartão de crédito) sem revelar qualquer outra informação sobre esse facto.

O «Modelo Cosmológico Padrão» (MCP) é o modelo físico-matemático com mais sucesso na tentativa de explicar a evolução do Universo em que vivemos. Consegue explicar, de uma forma natural, observações de natureza tão distinta como a expansão do Universo, as abundâncias dos elementos leves produzidos durante a época da nucleossíntese primordial, ou a existência da radiação cósmica de fundo, resultante de uma fase mais quente e primitiva do Universo. Por outro lado, permite construir um quadro bastante geral no qual é possível perceber a formação das galáxias e de outras estruturas cosmológicas.

Apesar destes sucessos, o MCP não é perfeito. Alguns problemas existem, relacionados sobretudo com o período mais próximo do «big bang». Serão abordados dois desses problemas – o «Problema do Horizonte» e o «Problema da Planura» (ou curvatura nula) – e será discutida a solução encontrada para os resolver. Esta solução baseia-se na existência de uma época do Universo muito primitivo, que se designa por «Época Inflacionária», durante a qual a expansão é exponencial.

Os físicos gostam de dizer que não é possível sentar-se num sofá, pensar muito e descobrir como é feito o mundo. A Física é uma ciência experimental. No entanto muitos aspectos das teorias físicas são determinados por considerações muito gerais de simetria, geometria, propriedades topológicas, etc. Nesta palestra exploram-se com uma linguagem directa, simples e acessível, algumas relações entre simetrias fundamentais e o modo como descrevemos átomos e a relação entre propriedades topológicas do grupo das rotações e a existência de spins semi-directos e de diferentes estatísticas quânticas.