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O Problema da Iluminação |
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O Problema da Iluminação |
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| Nesta página, sempre que falarmos em direcção estaremos a referir-nos a uma recta com um sentido escolhido. |
| Este problema consiste em, dado um corpo convexo e limitado no plano, encontrar o menor número de direcções (diferentes) no plano deste conjunto, de modo a que cada um dos pontos da fronteira do conjunto seja 'iluminado' por alguma dessas direcções. |
Só para ficar com uma ideia: Imagine que tem um corpo opaco plano pousado numa mesa e que quer iluminar-lhe a fronteira (a linha exterior) com o mínimo de direcções de luz possíveis, direcções essas pousadas na mesa. Um ponto só é iluminado por uma certa direcção de luz se houver uma paralela que incida no ponto directamente (isto é, que não passe 'de raspão') e que incida de fora para dentro do corpo (isto é, o ponto iluminado é o primeiro ponto em que dá a luz).
Sendo um pouco mais rigorosos: Um ponto A da fronteira de um corpo convexo F é ponto de iluminação relativamente à direcção l se o feixe de raios paralelos com direcção l ilumina o ponto A na fronteira de F e também uma vizinhança de A nessa fronteira.
Ou ainda: O ponto A da fronteira de um corpo convexo F é ponto de iluminação relativamente à direcção l se satisfaz:
1. A recta r paralela a l que passa por A não é uma recta de suporte do conjunto F;
2. A é o primeiro ponto de F que se encontra avançando ao longo de r na direcção l .
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| Nesta figura o ponto A é iluminado pela direcção l. | Nesta figura os pontos A e V não são iluminados pela direcção l pois a recta paralela a l que passa pelos pontos é uma recta de suporte de F. |
As direcções l1, l2, l3,...,ln são suficientes para iluminar a fronteira de F se cada ponto da fronteira é ponto de iluminação relativamente a pelo menos uma destas direcções.
Vou chamar c(F) ao menor número de direcções (no plano de F) suficientes para iluminar toda a fronteira de F.
| Por exemplo, para um círculo bastam 3 direcções para iluminar toda a sua fronteira: |  |
| E para iluminar toda a fronteira de um paralelogramo já não chegam 3 direcções; precisamos de 4 direcções: |  |
Pode-se experimentar este resultado no sketch seguinte. A figura F de momento é um triângulo e está a ser iluminada por três direcções. Temos portanto que c(F) é menor ou igual a 3. Todos os pontos a vermelho podem ser movidos; pode-se assim alterar as direcções da luz, no canto superior esquerdo, para ver que pontos da fronteira do triângulo são iluminados. Pode-se também mover os vértices do triângulo para transformar a figura F num quadrilátero qualquer, que (desde que não seja um paralelogramo) também necessita de apenas 3 direcções para ser iluminado: é só procurar direcções de luz adequadas. Atenção que estamos a supor que a figura é convexa.
Por que é que se F
ficar um paralelogramo, as três direcções não são
suficientes para iluminar toda a fronteira?
Porque temos quatro vértices e quatro
lados paralelos dois a dois. Para iluminar estes 4 vértices com
3 direcções teria de haver pelo menos uma direcção que
iluminasse dois vértices e isso não é possível. Para iluminar
um vértice V1 precisamos de uma direcção de luz tal que
uma recta paralela a essa que passa por V1 intersecte
o interior do paralelogramo, logo tem de ser uma direcção de
luz com um ângulo entre os ângulos dos dois lados do
paralelogramo (como se vê nas figuras, a e b têm
de ser maiores que zero, pois se a=0 ou b=0
formam-se rectas de suporte que não iluminam os vértices). Ao
tentar iluminar o vértice adjacente V2 (ou V4)
com essa mesma direcção, a recta paralela que passa por V2
(ou V4) já não contém pontos do interior do
conjunto, logo não ilumina o vértice V2 (nem V4).
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O sketch interactivo
relativo ao problema da iluminação foi construído com o
programa The Geometer's Sketchpad e traduzido para Java
usando JavaSketchpad.
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