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Cobertura de Conjuntos Convexos por conjuntos homotéticos mais pequenos | |
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Cobertura de Conjuntos Convexos por conjuntos homotéticos mais pequenos | |
Definição:
Diz-se que F' é um conjunto
homotético mais pequeno de F
se F' for a imagem de F por uma homotetia h de centro O e razão
positiva k<1.
Isto pode ser observado e testado na figura seguinte onde todos os pontos a vermelho podem ser movidos.
O círculo preto é o círculo original que queremos cobrir com os círculos c1 (verde) e c2 (azul) e c3 (vermelho). Os pontos k1, k2, k3 representam as razões das homotetias e O1, O2, O3 são os centros das homotetias. Sem ver o círculo c3, mova os pontos k1 e k2 para ver se consegue cobrir o círculo só com dois círculos homotéticos mais pequenos. (Atenção que, segundo a definição, para ter um círculo homotético mais pequeno, a razão k da homotetia tem de ser menor que 1.) Não consegue? Então tente mudar também um pouco a posição dos centros das homotetias... Na verdade dois círculos não são suficientes!
Clique no botão para mostrar o terceiro círculo homotético mais pequeno e assim já conseguirá formar a cobertura desejada.
Clique no terceiro botão para saber por que é que dois círculos homotéticos mais pequenos não são suficientes para cobrir o círculo. O ponto A (ou então o seu antípoda) não é coberto pelos dois círculos pois
AC1 > AC = raio de c e AC2 > AC = raio de c
e como as razões das homotetias h1
e h2 são menores que 1, os círculos homotéticos mais pequenos
c1 e c2 têm raios sempre menores que o raio do círculo c.
Isto pode ser observado e testado na figura seguinte onde todos os pontos a vermelho podem ser movidos.
O paralelogramo preto é o paralelogramo original que pretendemos cobrir. Cada um dos outros paralelogramos coloridos é imagem deste por uma homotetia de razão menor que 1. Os pontos k1, k2, k3 e k4 representam as razões das homotetias e O1, O2, O3 e O4 são os centros das homotetias. Sem ver o 4º paralelogramo, mova os pontos k1, k2 e k3 para ver se consegue cobrir o paralelogramo só com três paralelogramos homotéticos mais pequenos. Não consegue? Então tente mudar também um pouco a posição dos centros das homotetias... Na verdade três paralelogramos não são suficientes! Clique no botão para mostrar o quarto paralelogramo homotético mais pequeno e assim já conseguirá formar a cobertura desejada.
Na verdade, como os lados dos
paralelogramos homotéticos se mantêm paralelos aos lados do
paralelogramo original e como a razão das homotetias não pode
ser 1, cada paralelogramo homotético mais pequeno cobre no
máximo um vértice do paralelogramo original; é portanto
necessário ter no mínimo um para cobrir cada vértice, ou seja,
são necessários 4 paralelogramos homotéticos mais pequenos
para obter a cobertura desejada.
Do mesmo modo se pode observar que o
número mínimo de conjuntos homotéticos necessários para
cobrir um paralelipípedo é oito. E se generalizarmos a um
espaço de dimensão n, temos também que um paralelipípedo
n-dimensional pode ser coberto por 2^n paralelipípedos
homotéticos mais pequenos.
Pode experimentar este
resultado no sketch seguinte, alterando a figura original, que
está a preto, tendo em atenção que a figura deve ser convexa
(e também não pode ser um paralelogramo, pois nesse caso seriam
necessárias quatro homotetias) e movendo os centros das
homotetias, aumentando e diminuindo as razões, que devem ser
menores que 1 para os conjuntos homotéticos serem mais pequenos
do que o conjunto original.
Tentou-se generalizar este
resultado a outras dimensões com a seguinte conjectura:
Conjectura
de Hadwiger (1957):
O número mínimo de conjuntos
convexos homotéticos mais pequenos com os quais é possível
cobrir um corpo convexo limitado de dimensão n, que não seja um
paralelilpípedo n-dimensional, é menor que 2^n; esse número é
igual a 2^n apenas para o caso do paralelipípedo n-dimensional.
Contudo esta conjectura ainda não foi provada nem refutada, nem mesmo para o caso em que n=3!
Foram provados, porém, alguns resultados mais fracos:
Seja b(F) o número mínimo de conjuntos homotéticos mais pequenos de F com os quais é possível cobrir F.
Foram provados os seguintes limites superiores para certos conjuntos especiais:
Rogers: Para qualquer corpo F n-dimensional
e centralmente simétrico
b(F)<=(2^n)(n
ln(n) + n ln(ln(n)) + 5n)
Existe também um limite inferior para este número:
Estas figuras foram construidas com o programa The Geometer's Sketchpad e traduzidas para Java usando JavaSketchpad.
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