Esta página pretende ser mais um apoio a alunos de Matemática, e a outros, no estudo de sucessões.

Como pré-requisito, recomenda-se o conhecimento do conceito de sucessão.

Com esta página pretende-se ajudar a clarificar o conceito de limite de uma sucessão, partindo com o exemplo da sucessão a_n= 1 / n , chegando até à definição formal de Limite de uma Sucessão. Nesta exposição são apresentados vários exemplos que contêm links para sketchs manipuláveis, permitindo, assim, uma melhor compreensão do assunto estudado.
 
 

Á medida que a ordem dos termos da sucessão aumenta, os termos desta ficam cada vez mais pequenos. Por exemplo:

• a partir do 100º  termo, todos os termos são menores que  a₁₀₀= 1 / 100
• a partir do 1000º  termo todos os termos são menores que  1 / 1000 ;  e assim sucessivamente.

Para ter uma ideia clara da noção de convergência desta sucessão temos que definir o que é que entendemos por:

• uma ordem "suficientemente grande",
• "tão próximo ... quanto quierámos".

Uma interpretação geométrica ajuda-nos a clarificar a situação.
Tendo em conta que uma sucessão é uma função cujo domínio é N, observemos a representação gráfica da sucessão:
 

Consideremos um qualquer intervalo I no eixo das ordenadas, de comprimento 2e  e com centro em 0, de tal forma que cada lado do ponto 0  tenha de comprimento e.

Se  e =10  é claro que todos os termos  a_n= 1 / n  da sequência vão estar dentro do intervalo I, (pois a₁=1, a₂=1/2, ..., são todos menores do que 10 ).

Se  e =1/10, então os primeiros termos da sequência vão estar fora de I, mas todos os termos a partir do a₁₀

1 / 11,  1 / 12,  1 / 13,  1 / 14, ..., vão estar dentro de I, como se pode ver na figura anterior.

Se tivéssemos escolhido  e =1/1000 , apenas os primeiros 1000  termos da sucessão estariam fora de I, enquanto que o termo a₁₀₀₁  e toda a infinidade de termos seguintes  a₁₀₀₂, a₁₀₀₃, a₁₀₀₄, a₁₀₀₅, ..., estariam dentro do intervalo I.

Obviamente, este argumento vale para qualquer valor positivo de e :
Para qualquer valor positivo que se escolha para e, mesmo que seja muito pequeno, nós podemos encontrar um natural N de forma a que    1 / N < e , (como se viu atrás nos casos de  e =10 ,  e =1/10  e e =1/1000 ).

Desta forma todos os termos a_n da sequência para os quais  n > N  vão estar dentro do intervalo I, e apenas um número finito de termos a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_N-1, estão fora.
 
 
 

No caso geral, quando se diz que "a sucessão de números reais  a₁, a₂, a₃, a₄, ...,  tem limite a":

• consideramos um intervalo I no eixo das ordenadas centrado em a (como se pode ver no gráfico anterior).
• se o intervalo for pequeno, alguns dos termos a_n poderão estar fora, mas para valores de n suficientemente grandes, maiores ou iguais a algum natural N, todos os valores de a_n deverão estar dentro do intervalo I.

A definição de convergência de uma sucessão pode ser formulada de uma forma mais concisa, como se segue:

Assim, dando os nomes simbólicos e e N  às frases "tão próximo ... quanto quierámos" e "uma ordem suficientemente grande", respectivamente, temos uma definição precisa de limite de uma sucessão.
 
 

  I.  Consideremos a sucessão 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..., n / (n+1), ..., cujo termo geral é
b_n= n / (n+1) . Vejamos que    lim b_n = 1.

(Repare que   lim b_n= 1  <=>  1 - lim b_n= 0,    e    1 - b_n= 1 -  n/(n+1) = (n+1-n)/(n+1) = 1/(n+1) )
Se  e = 1/10 temos  0 < 1 - b_n= 1/(n+1) < 1/10  que é verdadeiro para todo  n >10.
Então para satisfazer a condição ]  basta escolher  N =10.
Graficamente podemos ver facilmente que, apartir do 10º  todos os termos (dos que são possíveis ver) estão dentro do intervalo I=]0,9;1,1[

Click na imagem para um link de um sketch, onde pode manipular e observar melhor o gráfico da sucessão.
(Só é possível ver e manipular esse sketch se possuir o programa "THE GEOMETER'S SKETCHPAD" ou o "JAVASKETCHPAD".
Caso não possua nenhum deles, click em "JAVASKETCHPAD" para fazer um download do respectivo programa.)

Se tivéssemos escolhido  e = 1/1000 teríamos  0 < 1 - b_n= 1/(n+1) < 1/1000 que é verdadeiro para todo  n >1000.
Então, novamente, para satisfazer a condição ]  bastaría escolher  N =1000.
Da mesma forma para qualquer valor positivo de e  que se escolha, mesmo que seja muito pequeno, precisámos escolher apenas um qualquer inteiro N  maior do que  1/e.
Assim, à medida que a ordem dos termos aumenta esses termos vão ficando cada vez mais próximo de 1.
Para qualquer margem e que se escolha à volta de 1 ( ]1-e ;1+e[ ) há sempre uma ordem N ( N maior do que 1/e) para a qual todos os termos de ordem superior a N estão dentro dessa margem, ou seja, para qualquer e, b_nÎ]1-e ;1+e[  para todo n>N
onde N é um inteiro maior que 1/e. e apenas um número finito de termos b₁,b₂, b₃, b₄, ...,  b_N-1, estão fora do intervalo.

Se os membros da sequência b₁,b₂, b₃, b₄, ..., estiverem expressos na forma décimal   lim b_n = b  significa que para qualquer inteiro m, os primeiros m dígitos de b_n coincidem com os primeiros m dígitos da expansão décimal infinita de b, se n é maior ou igual a um certo N  (que depende de m). Esta situação corresponde a escolher e = 10^-m.
Exemplo:  Se e =1/1000 =10^-3  então  N=1000  (como vimos em cima), logo os primeiros 3 dígitos da expansão décimal infinita de  b_N= b₁₀₀₀= 1000/1001 = 0,99900099...,  coincidem com os 3 primeiros dígitos da expansão infinita de  1 = 0,99999999... .

II.  Consideremos a sucessão -1, 1, -1, 1, -1, 1, ..., (-1)ⁿ, ..., cujo termo geral é

c_n= (-1)ⁿ. Vejamos que  c_n  não tem limite.

Click na imagem para um link de um sketch, onde pode manipular e observar melhor o gráfico da sucessão.
(Só é possível ver e manipular esse sketch se possuir o programa "THE GEOMETER'S SKETCHPAD" ou o "JAVASKETCHPAD".
Caso não possua nenhum deles, click em "JAVASKETCHPAD" para fazer um download do respectivo programa.)

Repare que a sucessão dos termos pares de  c_n  é  1 , ou seja,  c_2n= 1,  logo lim c_2n= 1. Por outro lado a sucessão dos termos impares de  c_n  é  -1 , ou seja,  c_2n-1= -1,  logo
lim c_2n-1= -1.
Vejamos que o  lim c_nnão pode ser  1:
Se  e = 5é claro que todos os termos de  c_n  estãodentro do intervalo I=]-4 ;6 [.
Então para satisfazer a condição ]  bastaria escolher  N =1.
Contudo se tomarmos  e = 0,5  vemos que apenas os termos de ordem par pertencem a I=]0,5 ;1,5 [.  Assim, temos uma infinidade de termos de  c_n  dentro do intervalo I (os termos de ordem par), e uma infinidade de termos de  c_n  fora de I (os termos de ordem impar).
Assim, tomando  e = 0,5 , para todo o natural  N  existe sempre um n  para o qual |1 - c_n|>0,5basta tomar um valor  n  impar maior do que  N,
contrariando a condição ]. Na análise da convergência interessa que a condição ]  seja satisfeita para qualquer valor de  e  (como vimos neste exemplo, a condição era satifeita para  e= 5, mas não o era para  e= 0,5 ).

OBS: Quando uma sucessão não tem limite, ou não é convergente, diz-se que a sucessão é divergente, como é o caso da sucessão c_n= (-1)ⁿ.

III. Consideremos a sucessão 1, 4, 9, 25, ..., n², ..., cujo termo geral é d_n= n².

Repare que se escolhermos um valor K qualquer (eventualmente muito grande), existe sempre um termo d_n maior que K. Ora vejámos:

• se K=200  temos que  d₅= 5²=225 > 200 (basta escolher um valor n tal que n² >200 => n>14).
• se K=9999999  temos que  d₃₁₆₃= 3163²=10004569 > 9999999 (basta escolher um valor n tal que n² >9999999 => n>3162).

Se uma sucessão  xn verifica a condição: para qualquer valor (real positivo) K, existe um natural N tal que xn > K  para todo n > N,  diz-se que  xn  tende para mais infinito, e escreve-se: lim xn=+1 ,  ou,   xn!+1. Uma sucessão xn nestas condições diz-se divergente.

Logo, d_n= n²  tende para infinito, e escreve-se: lim n²=1 ,  ou,   n²!1.

Analogamente, diz-se que  xn  tende para meno infinito, e escreve-se: lim xn=-1 ,  ou,   xn!-1, se para qualquer valor (real negativo) K, existe um natural N tal que xn < K  para todo n > N.