Esta página foi realizada no início do ano lectivo 2000/2001,
no âmbito do estágio pedogógico do 5º ano do curso de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,
sob orientação científica do Professor Doutor Arala Chaves.







Esta página pretende ser mais um apoio a alunos de Matemática, e a outros, no estudo de sucessões.

Como pré-requisito, recomenda-se o conhecimento do conceito de sucessão.

Com esta página pretende-se ajudar a clarificar o conceito de limite de uma sucessão, partindo com o exemplo da sucessão an= 1 / n , chegando até à definição formal de Limite de uma Sucessão. Nesta exposição são apresentados vários exemplos que contêm links para sketchs manipuláveis, permitindo, assim, uma melhor compreensão do assunto estudado.
 
 

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O Limite de uma Sucessão

A sucessão cujo n-ésimo termo é an= 1 / n ,

1 ,  1/2 ,  1/3 , 1/4 ,  ... ,  1/n ,  ... ,

tem limite 0 quando n tende para infinito:

lim 1/n = 0   quando  n!1,

(ou, equivalentemente, que an converge para 0 ).
 
 
 

Vamos ver o que é que isto significa:





Á medida que a ordem dos termos da sucessão aumenta, os termos desta ficam cada vez mais pequenos. Por exemplo:

Nenhum termo é exactamente 0, mas se avançarmos para uma ordem suficientemente grande da sequência, vamos ter termos tão próximos de 0 quanto nós queirámos.

Para ter uma ideia clara da noção de convergência desta sucessão temos que definir o que é que entendemos por:


Uma interpretação geométrica ajuda-nos a clarificar a situação.
Tendo em conta que uma sucessão é uma função cujo domínio é N, observemos a representação gráfica da sucessão:
 


Click na imagem para um link de um sketch, onde pode manipular e observar melhor o gráfico da sucessão.
(Só é possível ver e manipular esse sketch se possuir o programa "THE GEOMETER'S SKETCHPAD" ou o "JAVASKETCHPAD".
Caso não possua nenhum deles, click em "JAVASKETCHPAD" para fazer um download do respectivo programa.)



Consideremos um qualquer intervalo I no eixo das ordenadas, de comprimento 2e  e com centro em 0, de tal forma que cada lado do ponto 0  tenha de comprimento e.

Se  e =10  é claro que todos os termos  an= 1 / n  da sequência vão estar dentro do intervalo I, (pois a1=1, a2=1/2, ..., são todos menores do que 10 ).

Se  e =1/10, então os primeiros termos da sequência vão estar fora de I, mas todos os termos a partir do a10

1 / 11,  1 / 12,  1 / 13,  1 / 14, ...,
vão estar dentro de I, como se pode ver na figura anterior.


Se tivéssemos escolhido  e =1/1000 , apenas os primeiros 1000  termos da sucessão estariam fora de I, enquanto que o termo a1001  e toda a infinidade de termos seguintes  a1002, a1003, a1004, a1005, ..., estariam dentro do intervalo I.

Obviamente, este argumento vale para qualquer valor positivo de e :
Para qualquer valor positivo que se escolha para e, mesmo que seja muito pequeno, nós podemos encontrar um natural N de forma a que    1 / N < e , (como se viu atrás nos casos de  e =10e =1/10  e e =1/1000 ).

Desta forma todos os termos an da sequência para os quais  n > vão estar dentro do intervalo I, e apenas um número finito de termos a1, a2, a3, a4, ..., aN-1, estão fora.
 
 
 

CONCLUSÃO:   1º- é dado um valor para e, que determina o comprimento do intervalo I, que é 2e.
  2º- encontra-se um valor natural N apropriado, de forma a que anÎI para todo n>N.
Este processo de escolher primeiro um número e, e depois encontrar o inteiro N apropriado, pode ser aplicado para qualquer valor de e, mesmo que seja um valor muito pequeno; procedendo assim, temos uma forma precisa que estabelece que todos os termos da sucessão vão distar de 0 tanto quanto nós queirámos, desde que tomemos uma ordem N apropriada, suficientemente grande de forma a que todos os termos an da sucessão para os quais  n > N estejam dentro do intervalo I.
  No caso deste exemplo dizemos que:   lim 1/n = 0   quando  n!1,
ou simplesmente,                                   1/n! 0   quando  n!1,
(lê-se: 1/n tende para 0, ou converge para 0 ).

 

No caso geral, quando se diz que "a sucessão de números reais  a1, a2, a3, a4, ...,  tem limite a":

 
Ou seja: para qualquer intervalo I (em que a seja um ponto interior de I), existe um natural N apartir do qual todos os termos avão estar dentro de I, para n >N.       Fora do intervalo I poderão estar apenas os termos a1,a2, a3, a4, ...,  aN-1. NOTA: um natural N pode ser bastante grande se o intervalo I for muito pequeno; mas independentemente do tamanho do intervalo I um tal N tem de existir se a sucessão tem a como limite.
Simbolicamente exprime-se o facto da sucessão an ter limite a, escrevendo:

lim an= a    quando   n!1,

                   ou simplesmente          an! a     quando   n!1,
                   (lê-se: an tende para a, ou, an converge para a ).
 
 

A definição de convergência de uma sucessão pode ser formulada de uma forma mais concisa, como se segue:

 
A sucessão  a1, a2, a3, a4, ...,  tem limite  a  quando  n  tende para infinito
se, para cada valor de e, mesmo que seja muito pequeno, é possível encontrar um natural (dependente de e), tal que
] |a - an|<e   para todo  n >

ou equivalentemente,
se I=]a-e,a+e[,     então     anÎ para todo  n >

Esta definição sugere um confronto entre duas ‘entidades’, A e B.
A exige que uma quantidade fixada a seja aproximada por an com um grau de exactidão melhor que uma margem e = e1 (escolhida).
B responde demonstrando que há um certo inteiro N = N1 para a qual todos os an depois do elemento aN1, satisfazem a e1-exigência.
Então A torna-se mais rigoroso e estabelece uma nova, mais pequena, margem, e = e2 .
B satisfaz novamente esta exigência encontrando um (talvez maior) natural  N = N2 .
Se B conseguir satisfazer sempre A, independentemente da exiguidade da margem, então temos a situação expressa por  an!a.

Assim, dando os nomes simbólicos e e N  às frases "tão próximo ... quanto quierámos" e "uma ordem suficientemente grande", respectivamente, temos uma definição precisa de limite de uma sucessão.
 
 

Observemos os alguns exemplos:

  I.  Consideremos a sucessão 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..., n / (n+1), ..., cujo termo geral é
bn= n / (n+1) . Vejamos que    lim bn = 1.
(Repare que   lim bn= 1  <=>  1 - lim bn= 0,    e    1 - bn= 1 -  n/(n+1) = (n+1-n)/(n+1) = 1/(n+1) )
Se  e = 1/10 temos  0 < 1 - bn= 1/(n+1) < 1/10  que é verdadeiro para todo  n >10.
Então para satisfazer a condição ]  basta escolher  N =10.
Graficamente podemos ver facilmente que, apartir do 10º  todos os termos (dos que são possíveis ver) estão dentro do intervalo I=]0,9;1,1[

Click na imagem para um link de um sketch, onde pode manipular e observar melhor o gráfico da sucessão.
(Só é possível ver e manipular esse sketch se possuir o programa "THE GEOMETER'S SKETCHPAD" ou o "JAVASKETCHPAD".
Caso não possua nenhum deles, click em "JAVASKETCHPAD" para fazer um download do respectivo programa.)
Se tivéssemos escolhido  e = 1/1000 teríamos  0 < 1 - bn= 1/(n+1) < 1/1000 que é verdadeiro para todo  n >1000.
Então, novamente, para satisfazer a condição ]  bastaría escolher  N =1000.
Da mesma forma para qualquer valor positivo de que se escolha, mesmo que seja muito pequeno, precisámos escolher apenas um qualquer inteiro maior do que  1/e.
Assim, à medida que a ordem dos termos aumenta esses termos vão ficando cada vez mais próximo de 1.
Para qualquer margem e que se escolha à volta de 1 ( ]1-e ;1+e[ ) há sempre uma ordem N ( N maior do que 1/e) para a qual todos os termos de ordem superior a N estão dentro dessa margem, ou seja,
para qualquer e, bnÎ]1-e ;1+e[  para todo n>N
onde N é um inteiro maior que 1/e.
e apenas um número finito de termos b1,b2, b3, b4, ...,  bN-1, estão fora do intervalo.

Se os membros da sequência b1,b2, b3, b4, ..., estiverem expressos na forma décimal   lim bn = b  significa que para qualquer inteiro m, os primeiros m dígitos de bn coincidem com os primeiros m dígitos da expansão décimal infinita de b, se n é maior ou igual a um certo N  (que depende de m). Esta situação corresponde a escolher e = 10-m.
Exemplo:  Se e =1/1000 =10-3  então  N=1000  (como vimos em cima), logo os primeiros 3 dígitos da expansão décimal infinita de  bN= b1000= 1000/1001 = 0,99900099...,  coincidem com os 3 primeiros dígitos da expansão infinita de  1 = 0,99999999... .


II.  Consideremos a sucessão -1, 1, -1, 1, -1, 1, ..., (-1)n, ..., cujo termo geral é

cn= (-1)n. Vejamos que  cn  não tem limite.

Click na imagem para um link de um sketch, onde pode manipular e observar melhor o gráfico da sucessão.
(Só é possível ver e manipular esse sketch se possuir o programa "THE GEOMETER'S SKETCHPAD" ou o "JAVASKETCHPAD".
Caso não possua nenhum deles, click em "JAVASKETCHPAD" para fazer um download do respectivo programa.)
Repare que a sucessão dos termos pares de  cn  é  1 , ou seja,  c2n= 1,  logo lim c2n= 1. Por outro lado a sucessão dos termos impares de  cn  é  -1 , ou seja,  c2n-1= -1,  logo
lim c2n-1= -1.
Vejamos que o  lim cnnão pode ser  1:
Se  e = 5é claro que todos os termos de  cn  estãodentro do intervalo I=]-4 ;6 [.
Então para satisfazer a condição ]  bastaria escolher  N =1.
Contudo se tomarmos  e = 0,5  vemos que apenas os termos de ordem par pertencem a I=]0,5 ;1,5 [Assim, temos uma infinidade de termos de  cn  dentro do intervalo I (os termos de ordem par), e uma infinidade de termos de  cn  fora de I (os termos de ordem impar).
Assim, tomando  e = 0,5 , para todo o natural  N  existe sempre um n  para o qual
|1 - cn|>0,5basta tomar um valor  impar maior do que  N,
contrariando a condição ].
Na análise da convergência interessa que a condição ]  seja satisfeita para qualquer valor de  e  (como vimos neste exemplo, a condição era satifeita para  e= 5, mas não o era para  e= 0,5 ).
OBS: Quando uma sucessão não tem limite, ou não é convergente, diz-se que a sucessão é divergente, como é o caso da sucessão cn= (-1)n.
III. Consideremos a sucessão 1, 4, 9, 25, ..., n2, ..., cujo termo geral é dn= n2.
Repare que se escolhermos um valor K qualquer (eventualmente muito grande), existe sempre um termo dn maior que K. Ora vejámos:
  • se K=200  temos que  d5= 52=225 > 200 (basta escolher um valor n tal que n2 >200 => n>14).
  • se K=9999999  temos que  d3163= 31632=10004569 > 9999999 (basta escolher um valor n tal que n2 >9999999 => n>3162).
Se uma sucessão  xn verifica a condição:
para qualquer valor (real positivo) K, existe um natural N tal que
xn > K  para todo n > N, 
diz-se que  xn  tende para mais infinito, e escreve-se:
lim xn=+1 ,  ou,   xn!+1.
Uma sucessão xn nestas condições diz-se divergente.
Logo, dn= n2  tende para infinito, e escreve-se:
lim n2=1 ,  ou,   n2!1.


Analogamente, diz-se que  xn  tende para meno infinito, e escreve-se:
lim xn=-1 ,  ou,   xn!-1,
se para qualquer valor (real negativo) K, existe um natural N tal que
xn < K  para todo n > N.