O que é uma função contínua?

A palavra contínua significa, em geral, "sem interrupções no tempo e no espaço".
Assim seria de esperar que uma função contínua fosse uma função representada por um gráfico sem interrupções, que se pudesse desenhar de uma só vez, sem levantar o lápis do papel.

Os gráficos das funções contínuas  f e g de R em R, dadas por f(x) = xg(x)= x3, e os gráficos das funções descontínuas e trunc(x) ( ? ) confirmam exactamente esta ideia.
 

Estas duas funções são contínuas e os seus gráficos podem desenhar-se de uma só vez, sem levantar o lápis.
Experimenta seguir com o rato cada

um dos gráficos das funções e verás 

que consegues percorrê-los totalmente

sem teres que passar por nenhuma 

zona do plano que não pertença ao

gráfico.

O mesmo não acontece com os gráficos das funções h, j e k. Estes não poderão ser desenhados sem levantar o lápis do papel.
 

 Tenta com o rato seguir os gráficos destas funções.
O que é que acontece??! ...

Exactamente!!, em alguns pontos tens que passar com 
o rato numa zona do plano em branco, ou seja, que
não pertence ao gráfico dessa função.
Tal acontece uma única vez em cada uma das funções
h e j, nos pontos de abcissa 1 e 3, respectivamente;
e acontece em todos os pontos cuja abcissa é um número 
inteiro, à excepção do ponto de abcissa 0, na função k (o que é uma infinidade de pontos). Este facto parece 
apoiar a nossa ideia de funções contínuas, pois estas
três funções, ao contrário da f e da g, são descontínuas.

Outro aspecto que vem reforçar ainda mais a nossa primeira ideia para a definição de função contínua é o facto de as funções serem descontínuas exactamente nos pontos onde temos que levantar o lápis para desenhar os seus gráficos.

A verdade é que nem todas as palavras usadas em Matemática estão a ser usadas no seu sentido habitual.
Observa os seguintes exemplos, todos eles de funções contínuas, e nenhum deles poderá ser desenhado sem levantar o lápis do papel.
 

Outro aspecto interessante
Esta foi então uma falsa conjectura.
Continuemos a tentar!!!
 

Imaginemos agora que quero encontrar a imagem segundo uma determinada função de um número irracional, a.

Será que tomando como aproximação de a um número racional muito próximo, obtenho uma imagem muito próxima da imagem de a?
E será que quanto melhor for a minha aproximação a a, melhor será a aproximação a f(a)?
Ou ainda,
Será que o erro cometido quando se substitui f(a) por f(x0)  (onde x é um ponto próximo de a) pode ser tornado arbitrariamente pequeno impondo apenas que x0 esteja suficientemente próximo de a?

Estudemos algumas funções, e averiguemos se tal acontece.
Comecemos pela função identidade, f(x)=x, uma das mais elementares.

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Experimenta com o rato clicar sobre o ponto  de abcissa x0 e aproximá-lo do ponto de abcissa a. Repara no que acontece: à medida que aproximas x0 de a, também f(x0 ) fica mais próximo de f(a). Podes ainda variar a e, repetindo a aproximação de  x ao novo a, continuas a observar que também f(x0 ) fica mais próximo de f(a).
O mesmo podemos observar na função f(x)=x3.

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Atenção: Para não sobrecarregar demasiado a linguagem desta página, vai-se omitir a distinção entre uma aproximação a a por um valor à sua esquerda e uma aproximação por um valor à direita. Assim sempre que se estiver a pensar numa aproximação a a, para estudar a aproximação da sua imagem a f(a), estar-se-á a pensar separadamente numa aproximação à esquerda de a e numa aproximação à direita, estudando também separadamente as aproximações das suas imagens a f(a). Sempre que não se estiver a fazer esta distinção isso ficará claro.
(Mas porque será esta distinção tão importante!)



Mas então o que terá tudo isto a haver com as funções contínuas?!
Poderá ser esta uma ideia para a definição de função contínua?
Já vimos que a função identidade e x3 são funções contínuas.

Será então que uma função é contínua sempre que, para qualquer a, a uma  melhor aproximação x0 de a, corresponde necessariamente uma melhor aproximação f(x0 ) de f(a)?

A função x2 também é contínua.Vejamos se uma  melhor aproximação de a, sendo a qualquer, garante necessariamente uma melhor aproximação de f(a).
À primeira vista parece que sim.

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Mas é só à primeira vista, pois se x0 for o simétrico de a, f(x0 )=f(a) e à medida que aproximas x0 de a, não observas f(x0 ) a aproximar-se de f(a), mas sim a afastar-se.

Observemos o que se passa no caso da função sen(x).

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Como podes ver nem sempre que aproximas x0 de af(x0 ) fica mais próximo de f(a). Se reparares, ao aproximar x0 de a, o valor de f(x0 ) ora se aproxima de  f(a) , ora está mais afastado.

Observa o gráfico de variação destas distâncias descrito abaixo. A verde está representado tudo o que acontece à esquerda de a, ou seja, quando aproximamos a por um valor (x1) por defeito , e a lilás está representado o que acontece à direita de a, quando aproximamos a por um valor por excesso, x0 .

Observando atentamente esta figura, podemos constatar que quando x0, ou x1 , se aproxima de a, a sua imagem não se afasta necessariamente de f(a).

Podemos então concluir que esta nova ideia de função contínua não está correcta.
No entanto, se repararmos bem nos exemplos anteriores, apesar de não ser verdade que uma melhor aproximação a a nos garante uma melhor aproximação de f(a), conseguimos em todos os casos encontrar um intervalo em que isso aconteça.
Por exemplo, na função x2 basta considerar um qualquer intervalo que não contenha 0 (excluindo assim a hipótese de existirem elementos simétricos no intervalo), claro está, no caso de a ser diferente de 0. Se a=0, qualquer intervalo servirá.

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Na função sen(x) é um pouco mais complicado definir o intervalo, sendo, no entanto, muito fácil ver que ele existe. Observando o gráfico desta função atentamente verifica-se que no intervalo que tem como extremos os pontos de máximo e de mínimo entre os quais se encontre a, podemos aproximar  f(x0 ) de f(a) aproximando x de a.
Se a for um máximo ou um mínimo o intervalo terá como extremos os dois mínimos ou os dois máximos, respectivamente, entre os quais se encontra a.
(Isto deve-se)

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Será então que uma função para a qual existe um intervalo, que contém a, e onde qualquer aproximação a a nos garante uma melhor aproximação a f(a), é contínua?

Vejamos o exemplo seguinte:

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Como podemos observar  a qualquer aproximação à abcissa 1 corresponde uma melhor aproximação a f(a), qualquer que seja  x0 , e no entanto f não é uma função contínua, f é descontínua em 1. Podemos Então concluimos assim que uma função para a qual existe um intervalo, que contém a, e onde qualquer aproximação a a nos garante uma melhor aproximação a f(a), não é necessariamente uma função contínua. (Outra questão interessante)

Mais uma vez a nossa tentativa de encontrar a definição de função contínua falhou!!...
Mas será que está tudo perdido? Não.

Tornemos a analisar as questões levantadas à pouco, aquando do início do problema de aproximar f(a) por f(x0 )  (onde x0 é um ponto próximo de a à sua direita ou à sua esquerda).

É preciso notar que as 3 questões não são iguais, principalmente as duas últimas.
E onde está a diferença entre estas duas afirmações?
Será que impôr que quanto melhor for a aproximação a a, a aproximação a f(a) também melhore é o mesmo que impôr que o erro cometido quando se substitui f(a) por f(x0 )  (onde x é um ponto próximo de a) possa ser tornado arbitrariamente pequeno tendo apenas, para tal, que aproximar  x0   suficientemente de a?
A primeira impõe somente que à medida que se vai aproximando x0 de af(x0 ) também se aproxima de f(a), ao passo que a segunda obriga que se consiga aproximar  f(x0 ) de f(a) tanto quanto se queira tendo apenas, para tal, que aproximar  x0   suficientemente de a.
No fundo, a diferença em questão reside no facto de a palavra aproximar não significar necessariamente tender. No entanto aproximar tanto quanto se queira já significa tender.

No exemplo anterior, vimos que a função de R em R dada por , satisfaz a primeira condição, apesar de ser uma função descontínua. Ao invés não satisfaz a segunda, pois é fácil ver que não podemos aproximar  f(x0 ) de f(a) tanto quanto se queira ou, como a própria questão diz, tornar o erro cometido quando se substitui f(a) por f(x0 ) arbitrariamente pequeno.

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Note-se que a parte azul representa pontos em que o erro relativamente a f(a) é superior ao que está representado no segmento rosa. E se escolhermos este segmento não muito grande, vemos que a parte azul(erro "grande" superior) tem pontos no eixo dos xx arbitrariamente próximos de a.
Portanto, por mais próximo de a que se exiga estar  x0, existem sempre valores que conduzem a um erro "grande". Ou, por outras palavras, não conseguimos encontrar um intervalo centrado em a para o qual se consegue imagens tão próximas quanto se queira de f(a).
Outra forma ainda de analisar esta situação, é verificar que a imagem recíproca do complementar de um intervalo centrado em f(a)  (parte azul)  tem pontos no eixo dos xx arbitrariamente próximos.
 

Mas será esta a ideia da definição das funções contínuas?
Será uma função para a qual o erro cometido quando se substitui f(a) por f(x0)  (onde x é um ponto próximo de a) pode ser tornado arbitrariamente pequeno impondo apenas que x0 esteja suficientemente próximo de a, é contínua?

Na verdade, é esta a ideia da definição de uma função contínua.(Finalmente!!....)
Por exemplo, na função identidade, que é  contínua, observamos que qualquer que seja o
tamanho
do erro (segmento rosa) eu consigo encontrar um intervalo centrado em a no qual todos os elememtos conduzem a um erro inferior ao representado a rosa. E pelo contrário não consigo encontrar valores tão arbitrariamnete próximos de a que conduzem a erros "grandes" (parte azul).
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Assim qualquer que seja o tamanho de um intervalo centrado em f(a) (onde a é um qualquer ponto do domínio da função) conseguimos encontrar um intervalo centrado em a para o qual as imagens dos objectos estão contidas no intervalo de que se partiu.

Vamos agora tentar formalizar esta definição, e assim verificar, que nem tudo o que parece complicado à primeira vista o é realmente.
 

Uma função é contínua se para todo o a pertencente ao domínio,
qualquer que seja o comprimento de um determinado intervalo centrado em f(a), conseguimos sempre arranjar um outro intervalo centrado em a, tal que as imagens de todos os objectos pertencentes a este intervalo pertencem ao intervalo que contém f(a).


Chamemos e ao comprimento do intervalo. Como se trata de uma medida de comprimento, e será um real maior do que zero. Chamemos d ao comprimento do intervalo centrado em a que tal como e também será um real maior que zero.
O intervalo de comprimento d centrado em a é igual ao conjunto de pontos que se situam a uma distância menor do que d/2 de a. Ou seja, são os x reais tais que |x-a|<d/2.
Do mesmo modo, dizer que as imagens  dos objectos do intervalo anterior estão contidas no intervalo centrado em f(a) de comprimento e , é  dizer |f(x)-f(a)| < e/2 .

Com estas  subtiuições a nossa definição  já poderá ficar um pouco mais formal.

Assim, dizemos que uma função  é contínua se, para qualquer a do seu domínio,
qualquer que seja e > 0, dado arbitrariamente, conseguimos encontar d >0 tal que para todo o x pertencente ao domínio e |x - a|<d/2  tem-se necessariamente | f(x) - f(a)|<e/2.


Como em Matemática existem ainda  os símbolos " e $ que significam para todo e existe, respectivamente, e como se quisermos e e d podem representar metade do comprimento do intervalo,  a definição de função contínua pode ter ainda outro aspecto:
 

 Uma função f é contínua se
     " a 2Df
          "e > 0  $d >0 ; x 2Df , | x - a |<)  | f(y) - f(x) |<

 

Vejamos outros exemplos de funções e analisemos a sua continuidade.
Comecemos pela função definida de R em R dada por f(x)=x3, uma função que já tinhamos dito ser contínua.Confirmemos exactamente isto, analisando o seu gráfico.
 
É fácil concluir, por simples observação desta imagem, que qualquer que seja o comprimento de do intervalo centrado em f(a) (a rosa), conseguimos sempre arranjar um outro intervalo centrado em a (representado a verde), tal que as imagens de todos os objectos pertencentes a este intervalo pertencem ao intervalo que contém f(a). Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

Mas será por acaso que se fala em imagem recíprocas de um intervalo? Não.
De facto, também poderemos estudar a continuidade de uma função, estudando as imagens recíprocas de um intervalo.
Neste caso, para todo a, vemos que a imagem recíproca de um intervalo centrado em f(a), qualquer que seja o seu comprimento, é um intervalo que contém a, não sendo a nenhum dos extremos desse intervalo.

No caso de a imagem  recíproca de um intervalo centrado em f(a) ser um intervalo em que a é um dos extremos (por exemplo, o menor extremo ou extremo esquerdo), então tal significa que à esquerda de a temos pontos cujas imagens segundo f  distam mais do que e de f(a). Ou seja, f não é contínua em a.

Temos assim uma noção alternativa para o conceito de função contínua:

Uma função f é contínua se para todo o a pertencente ao domínio de f, a imagem recíproca de um intervalo que contém f(a), mas este não é extremo, é um outro intervalo ao qual a pertence, mas não é extremo.
Sabendo que, em Matemática, podemos dar uma definição alternativa para função contínua:
 
  Uma função f é contínua se 
         " a 2Df
                         " I 2Vf(a) f -1(I)2V

Tenta perceber esta nova definição, observando os gráficos da função  identidade e  da função real de variável real dada por   já estudadas atrás.

Mais exemplos:
A função definida de R em R dada por f(x)=x2 já foi alvo da nossa atenção várias vezes nesta página. Vejamos que é contínua.
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É fácil concluir, por simples observação desta imagem, que qualquer que seja o comprimento de do intervalo centrado em f(a) (a rosa), conseguimos sempre arranjar um outro intervalo (representado a verde)que contém a (mas não como extremo), tal que as imagens de todos os objectos pertencentes a este intervalo pertencem ao intervalo que contém f(a).
Por outro lado, vemos que qualquer que seja o intervalo que contém f(a), a sua imagem recíproca, apesar de nem sempre ser um único intervalo, contém um intervalo ao qual a pertence e não é extremo.

Algo muito semelhante acontece com a função seno que tanto nos apoiou no nosso estudo. é uma função contínua.
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Apesar de a imagem recíproca de um qualquer intervalo centrado em f(a) ser igual não a um único intervalo, mas a infinitos intervalos que se repetem periodicamente (para e<1, caso contrário dá um só intervalo,o próprio R), esta função não deixa de ser contínua. Isto porque nesta imagem recíproca está contido um intervalo nas condições pretendidas: contém a, mas este não é seu extremo.

Pelo contrário, a função heaviside, função definida de R em R cuja expressão analítica é 
não é contínua.

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Apesar de para a diferente de zero, a imagem recíproca de um intervalo é sempre um intervalo que contém a, mas não sendo a um dos extremos; para a=0 tal não acontece. Como h(0)=1, a imagem recíproca de um intervalo centrado em h(0) com comprimento menor que 2, é  o intervalo [0, +1[ do qual 0 é extremo.Podemos então concluir que h não é contínua em 0.  Para ver mais pormenorizadamente clik  aqui.

Vejamos agora o que acontece com a função real de variável real dada por .

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Pois é à primeira vista não sabemos para onde nos virar, é um pouco complicado decidir se é contínua ou não esta função. Pela expressão analítica da própria função poderemos concluir que será continua em todos os pontos difrentes de 0, e a ser descontínua, o ponto de descontinuidade será 0.
Analisemos o que acontce em zero. Se por um lado é verdade que tenho pontos tão próximos quanto queira de 0 a ter imagem dentro do intervalo centrado em 0, tão é verdade que tenho pontos tão próximos de 0 quanto queira tais que a sua imagem está muito afastada de 0=g(0). Podemos concluir assim que g não é contínua em 0.
 


Chegou agora a tua vez de experimentares.......