Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dados uma linha (recta ou circunferência) e dois pontos, um dos quais é o ponto ∞.
Caso sejam dadas uma recta r e um ponto P, há exactamente uma solução para o problema de Apolónio relativo a r, a P e a ∞: é a recta paralela a r que passa por P. Observe-se que, mesmo que P ∈ r, o número de soluções continua a ser igual a 1, por se ter convencionado que r é tangente a si própria.
Suponham-se agora dadas uma circunferência c e um ponto P. O número de soluções do problema de Apolónio para c, P e ∞ não é sempre o mesmo. Não há soluções caso o ponto P seja interior a c e há duas (as rectas tangentes a c que passam por P) caso P seja exterior a c. Caso P ∈ c, então há exactamente uma solução, que é a recta tangente a c que passa por P.
Quando P é exterior a c, os pontos de tangência podem ser obtidos intersectando com c a circunferência da qual um dos diâmetros é o segmento que tem por extremidades o ponto P e o centro de c.
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