A Fórmula de Euler
João Nuno Tavares

I. PROVA





Modelos de pedra do cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro, feitos no
período neolítico (cerca de 2000 a.C.)




Sólidos Platónicos







 




O que é a dualidade?
 
 


V (vértices)
 A (arestas) F (faces) V-A+F=X(S)
Octaedro 6
 12 8 2
Cubo 8 12 6 2
Tetraedro 4 6 4 2
Dodecaedro 20 30 12 2
Icosaedro 12 30 20 2



Prova de Cauchy
da fórmula de Euler
V-A+F=2




Prova de Cauchy
da fórmula de Euler
V-A+F=2


  • Retiramos uma face ao sólido e abrimos (como se ele fosse feito de borracha elástica) rebatendo-o sobre um plano. Obtemos um "mapa" plano com o mesmo número de vértices e arestas, mas com menos uma face (a que retiramos). Basta então mostrar que, para este "mapa" plano, se tem:
V - A + F = 1

  • Triangulamos cada uma das faces do "mapa".

  • Cada triângulo pode ter 0, 1 ou 2 arestas livres. Por exemplo, o triângulo vermelho em 3. tem uma aresta livre, enquanto que o triângulo vermelho em 5. tem duas.

  • Quando retiramos um dos triângulos com uma aresta livre, o número de faces do mapa diminui de uma unidade bem como o número de arestas. Mas como:
V - (A - 1) + (F - 1) = V - A + F

a soma V - A + F mantem-se inalterada.

  • Quando retiramos um dos triângulos com duas arestas livres, o número de faces do mapa diminui de uma unidade, bem como o número de vértices, enquanto que o número de arestas diminui de duas unidades. Mas como:
(V - 1) - (A - 2) + (F - 1) = V - A + F

a soma V - A + F mantem-se mais uma vez inalterada.

  • Depois de retirar todos os triângulos com uma ou duas arestas livres, por uma sequência apropriada das duas operações anteriores, o mapa reduz-se a um único triângulo. Mas para este tem-se obviamente que:
V - A + F = 3 - 3 + 1 = 1
o que termina a demonstração.




II. Refutação
A fórmula de Euler não é válida para superfícies poliedrais com buracos!

Por exemplo:



V-A+F = 16-32+16 = 0

V-A+F = 28-62+32 = - 2


Definamos a curvatura de Gauss K(v), de cada vértice v do poliedro, através de:



Existem três tipos de vértices:
  • Esféricos   K(v) > 0
  • Euclideanos   K(v) = 0
  • Hiperbólicos   K(v) < 0



Teorema de Descartes-Gauss-Bonnet



onde K = Curvatura total = Soma das curvaturas K(v)

Exemplos




Demonstração do Teorema de Descartes-Gauss-Bonnet

µ







Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a 2pi.
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é igual a (n-2)pi.