Provas das 3 propriedades





  • $ \hbox{Isotr}(c)$ é um subgrupo de $ G$ .


    Dem. É claro que $ e\in\hbox{Isotr}(c)$ . Se $ g,h\in \hbox{Isotr}(c)$ então $ gh\in \hbox{Isotr}(c)$. De facto, $ (gh)c=g(hc)=gc=c$ .


  • Existe uma correspondência bijectiva entre $ G/\hbox{Isotr}(c)$ e a órbita $ \hbox{Orb}(c)$ :

    $\displaystyle G/\hbox{Isotr}(c) \cong \hbox{Orb}(c)$
    Em particular:
    $\displaystyle \vert\hbox{Orb}(c)\vert\cdot \vert\hbox{Isotr}(c)\vert=\vert G\vert$ (5)


    Dem. Representemos por $ H$ o subgrupo de isotropia $ \hbox{Isotr}(c)$:

    $\displaystyle H=\hbox{Isotr}(c)$

    Dois elementos $ g,g'\in G$ dizem-se equivalentes módulo $ H$ se existir um $ h\in H$ tal que $ g'=gh$ . Por outras palavras, $ g,g'\in G$ são equivalentes módulo $ H$ se e só se $ g^{-1}g'\in H$ .

    Esta é uma relação de equivalência em $ G$ (mostre). As classes de equivalência dizem-se as classes (esquerdas) de $ G$ módulo $ H$ .

    Elas formam uma partição de $ G$ numa reunião disjunta de subconjuntos.

    O conjunto de todas essas classes de equivalência nota-se por $ G/H$ , e a classe de equivalência que contem $ g\in G$ nota-se por $ gH$ :

    $\displaystyle gH=\{gh:\, h\in H\}$

    Definamos agora uma aplicação:

    \begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \psi: & G/H & \longrightarrow & \hbox{Orb}(c) \\ & gH & \longmapsto & gc \\ \end{array}\end{displaymath} (6)

    É óbvio que esta aplicação não depende do elemento $ g$ que representa a classe $ gH$ . É ainda fácil ver que é uma bijecção.

  • Se $ c$ e $ c'$ pertencem à mesma órbita então:

    $\displaystyle \vert\hbox{Isotr}(c)\vert=\vert\hbox{Isotr}(c')\vert$
    onde, como habitualmente $ \vert\hbox{Isotr}(c)\vert$ representa o número de elementos em $ \hbox{Isotr}(c)$ .


    Dem. De facto, a fórmula (4) mostra isso imediatamente:

    $\displaystyle \vert\hbox{Orb}(c)\vert\cdot \vert\hbox{Isotr}(c)\vert=\vert G\ve... ...ert \ \ \ \Rightarrow \ \ \vert\hbox{Isotr}(c)\vert=\vert\hbox{Isotr}(c')\vert$
    uma vez que $ \vert\hbox{Orb}(c)\vert=\vert\hbox{Orb}(c')\vert$ já que $ c$ e $ c'$ pertencem à mesma órbita.








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